Section 1 Wissenschaftliche Gütekriterien
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Interaktive Vorlesung

Datenanalyse mit R

Prof. Dr. habil. Dennis Klinkhammer (2026)

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Hinweis: Für den ersten Start und für Packageinstallationen ist eine Internetverbindung nötig.
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01

R-Vorlesung

Wissenschaftliche Gütekriterien

01

Wissenschaftliche Gütekriterien

  • Grundlage für seriöse Forschung.
  • Beziehen sich auf mögliche Schwachstellen:
    • des Datensatzes
    • der Erhebung des Datensatzes
    • der Forscherinnen und Forscher selbst
02

Drei zentrale Gütekriterien

  • Ermöglichen die Berücksichtigung von Schwachstellen in der Ergebnisinterpretation.
  • Unterscheidung in drei Hauptarten:
    • Objektivität
    • Reliabilität
    • Validität
03

Objektivität

  • Objektivität bedeutet Unabhängigkeit.
  • Der Forschungsprozess wird nicht für eigene oder „Wunschergebnisse“ Dritter beeinflusst.
  • Die Finanzierung von Forscherinnen und Forschern durch Dritte bietet bspw. Anlass zur Frage nach deren Objektivität.
Leitfrage: Ist das Ergebnis unabhängig davon, wer die Forschung durchführt oder finanziert?
04

Reliabilität

  • Reliabilität bedeutet Reproduzierbarkeit unter Einsatz geeigneter Erhebungsinstrumente.
  • Zentrale Aspekte sind Stabilität und Genauigkeit einer Messung.
  • Auch die Rahmenbedingungen einer Messung müssen berücksichtigt und ausgewiesen werden.
Leitfrage: Würde die Messung unter vergleichbaren Bedingungen zu einem vergleichbaren Ergebnis führen?
05

Validität – Präzision des Erhebungsinstruments

  • Validität bezieht sich auf die Präzision des Erhebungsinstruments.
  • Die drei Unterarten der Validität sind:
    • Konstruktvalidität: Womit wird gemessen?
    • Kriteriumsvalidität: Was wird gemessen?
    • Prognostische Validität: Welche Schlüsse sind möglich?
06

Validität – Rahmenbedingungen

  • Validität bezieht sich auch auf die Rahmenbedingungen einer Erhebung.
  • Ergebnisinterpretationen erfordern eine Ausweisung der Validitätsbedingungen:
    • Interne Validität: kontrollierte Bedingungen
    • Externe Validität: natürliche Bedingungen
Leitfrage: Unter welchen Bedingungen gelten die Ergebnisse?
07

Zusammenspiel der Gütekriterien

  • Wissenschaftliche Fachliteratur nimmt in der Regel eine entsprechende Ausweisung der Gütekriterien vor.
  • Forschung ohne entsprechende Ausweisung der wissenschaftlichen Gütekriterien ist keine seriöse Forschung.
Merksatz: Validität setzt Objektivität und Reliabilität voraus.
08

Fakultativer Exkurs: Simpson-Paradoxon

  • Die Bewertung verschiedener Gruppen kann unterschiedlich ausfallen, je nachdem ob man die Ergebnisse der Gruppen kombiniert oder getrennt betrachtet.
  • Das Simpson Paradoxon ist ein häufiger Fehler in der medialen Berichterstattung.
Zusatzaufgabe: Recherche eines geeigneten Beispiels.
Code-Zelle 1

Simpson-Paradoxon

Kurz erklärt Erstellt zwei Gruppen mit jeweils positivem linearem Zusammenhang. Werden beide Gruppen gemeinsam betrachtet, entsteht jedoch ein gegensätzlicher Gesamteindruck.
02

R-Vorlesung

Programmiersprache R

01

Statistische Programmiersprache

  • Geeignet für Berechnungen und Visualisierungen.
  • R ist eine objektbasierte Programmiersprache.
  • Zu dem Funktionsumfang gehören:
    • das Bearbeiten von Objekten
    • das Erstellen neuer Objekte
    • die Berücksichtigung von Argumenten
02

Syntax der Programmiersprache R

  • Die Syntax bildet Objekte, Funktionen und Argumente ab.
  • Dient der Dokumentation des Datenanalyseprozesses.
  • Ermöglicht Dritten die transparente Reproduktion der Befunde.
Code-Zelle 2

Einfaches Beispiel

Kurz erklärtZeigt die ersten sechs Zeilen des SWISS-Datensatzes und damit dessen grundlegende Tabellenstruktur.
03

Packages in R

  • Packages erweitern den Funktionsumfang der Programmiersprache R.
  • Dadurch können neue Funktionen und Datensätze hinzugefügt werden.
  • Allerdings ist bei Packages auf deren Kompatibilität zu achten.
Code-Zelle 3

Ohne Packages

Kurz erklärtBerechnet die Korrelationsmatrix des SWISS-Datensatzes mit einer bereits in R vorhandenen Funktion.
Code-Zelle 4

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package corrplot für grafische Darstellungen von Korrelationsmatrizen.
Code-Zelle 5

Packages anwenden

Kurz erklärtLädt das Package corrplot, speichert die Korrelationsmatrix als neues Objekt und visualisiert sie anschließend.
03

R-Vorlesung

TREES-Datensatz

01

Ziele der Datenanalyse

  • Der TREES-Datensatz ermöglicht einen ersten Einstieg in die Datenanalyse.
  • Übergeordnete Ziele der Datenanalyse sind:
    • das Beschreiben von Variablen
    • das Erklären von Zusammenhängen
    • die Vorhersage von Phänomenen
02

Teilbereiche der Statistik

  • Die verschiedenen Ziele der Datenanalyse werden mit Teilbereichen der Statistik umgesetzt.
  • Diese lassen sich wie folgt untergliedern:
    • univariate Statistik
    • bivariate Statistik
    • multivariate Statistik
Ziel beim TREES-Datensatz: Eine möglichst präzise Vorhersage der Variablen Volume.
Code-Zelle 6

Univariate Statistik

Kurz erklärtBeschreibt den TREES-Datensatz mit Kennwerten und Boxplots.
Code-Zelle 7

Bivariate Statistik

Kurz erklärtBerechnet Zusammenhänge und visualisiert den linearen Zusammenhang zwischen Girth und Volume einschließlich Regressionsgerade.
Code-Zelle 8

Multivariate Statistik

Kurz erklärtErstellt ein multiples lineares Regressionsmodell zur Erklärung von Volume durch die übrigen Variablen des TREES-Datensatzes.
03

Möglichkeiten der Vorhersage

  • Die multivariate Statistik führt zu einem linearen Term.
  • Dieser ermöglicht die Vorhersage der betrachteten Phänomene.
Linearer Term: Volume ~ -57.98 + 4.70 * Girth + 0.33 * Height
04

R-Vorlesung

Analysemodelle

01

Hypothesen als Grundlage von Analysemodellen

  • Analysemodelle visualisieren die theoretisch fundierten Zusammenhänge zwischen den Variablen.
  • Diese Zusammenhänge werden in Form von Hypothesen festgehalten.
  • Es wird in Haupt- und Nebenhypothesen (mit möglichen Interdependenzen) unterschieden.
  • Interdependenzen beschreiben Wechselwirkungen zwischen Variablen.
  • Es wird zwischen spezifischen (mit konkreter Effektstärke) und unspezifischen Hypothesen (ohne konkrete Effektstärke) unterschieden.
Beispielhypothese: Je mehr (weniger) UV, desto mehr (weniger) AV.
Code-Zelle 9

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package DiagrammeR zur Visualisierung gerichteter Analysemodelle.
Code-Zelle 10

Analysemodell (Teil 1)

Kurz erklärtVisualisiert ein einfaches Modell mit einer unabhängigen Variable (UV) als Einflussgröße einer abhängigen Variable (AV).
02

Analysemodell für den TREES-Datensatz

  • Beim TREES-Datensatz ist Volume die abhängige Variable.
  • Girth und Height sind die unabhängigen Variablen und somit Grundlage der Haupthypothesen.
  • Girth und Height können sich auch gegenseitig beeinflussen und bedingen somit Nebenhypothesen (mit möglichen Interdependenzen).
Code-Zelle 11

Analysemodell (Teil 2)

Kurz erklärtÜberträgt ein gerichtetes Analysemodell auf Girth, Height und Volume des TREES-Datensatzes.
05

R-Vorlesung

SWISS-Datensatz

01

Interdependenzen in der Datenanalyse

  • Der SWISS-Datensatz gibt einen Einblick in die Bedeutung von Interdependenzen.
  • Dadurch können die Möglichkeiten der Vorhersage der abhängigen Variablen beeinflusst werden.
  • Mit einem theoretisch fundierten Analysemodell kann man diese Interdependenzen abbilden.
Code-Zelle 12

Datensatz einsehen

Kurz erklärtZeigt die ersten sechs Zeilen des SWISS-Datensatzes.
Code-Zelle 13

Analysemodell

Kurz erklärtVisualisiert angenommene Einflussrichtungen zwischen mehreren Variablen des SWISS-Datensatzes.
Code-Zelle 14

Univariate Statistik

Kurz erklärtBeschreibt die Variablen des SWISS-Datensatzes über Kennwerte und Boxplots.
Code-Zelle 15

Bivariate Statistik

Kurz erklärtBerechnet alle paarweisen linearen Korrelationen des SWISS-Datensatzes.
02

Zwischenbefund der bivariaten Statistik

  • Examination und Education weisen einen negativen Zusammenhang mit Fertility auf.
  • Die Effektstärken von Examination und Education fallen dabei ungefähr gleich stark aus.
  • Agriculture weist einen positiven Zusammenhang mit Fertility auf.
Code-Zelle 16

Multivariate Statistik

Kurz erklärtErstellt ein multiples lineares Regressionsmodell zur Erklärung von Fertility.
03

Abschließender Befund der multivariaten Statistik

  • Examination und Education weisen nun unterschiedlich starke Zusammenhänge mit Fertility auf.
  • Die Effektstärke von Education ist stärker negativ als die Effektstärke von Examination.
  • Schließlich hat sich die Effektstärke von Agriculture umgedreht (dies ist die Interdependenz).
Wichtig: Interdependenzen können zu unvorhergesehenen Befunden führen!
06

R-Vorlesung

Univariate Statistik

01

Externe Datensätze in R einlesen

  • Mit dem read.csv(...) Befehl lassen sich CSV-Datensätze in R einlesen.
  • Ein CSV-Datensatz ist eine Datei, die Tabellen in Form von Zeilen und Spalten speichert.
Hinweis zum Datensatz: Dieser wird nachfolgend für die univariate, bivariate und multivariate Statistik verwendet.
Code-Zelle 17

Datensatz einlesen

Kurz erklärtLädt den HEART.DATA-Datensatz aus einer CSV-Datei im Internet.
Code-Zelle 18

Univariate Statistik

Kurz erklärtZeigt Dimension, deskriptive Kennwerte und Boxplots des HEART.DATA-Datensatzes.
02

Dichtefunktion

  • Gibt die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f(x) für stetige Werte an.
  • Der Wert selbst ist jedoch - anders als bei der Verteilungsfunktion F(x) - keine Wahrscheinlichkeit.
  • Entsprechend ist die Dichtefunktion f(x) die Ableitung der Verteilungsfunktion F(x).
03

Lagemaße

  • Beschreiben das Zentrum oder den Schwerpunkt einer Verteilung.
  • Gängige Lagemaße sind das arithmetische Mittel (Mean), der Median und der Modus:
    • Mean: Durchschnittswert einer Zahlenreihe
    • Median: exakter Mittelwert einer geordneten Zahlenreihe
    • Modus: häufigster Wert aus einer Zahlenreihe
04

Formel des arithmetischen Mittels (Mean)

\[ \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i \]
05

Formel des Medians

\[ \tilde{x} = \begin{cases} x_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}, & n \text{ ungerade} \\[6pt] \frac{ x_{\left(\frac{n}{2}\right)} + x_{\left(\frac{n}{2}+1\right)} }{2}, & n \text{ gerade} \end{cases} \]
06

Formel des Modus

\[ x_{\mathrm{mod}} = \underset{x}{\operatorname{arg\,max}}\; h(x) \]
Code-Zelle 19

Dichtefunktion und Lagemaße

Kurz erklärtStellt die Verteilung von heart.disease als Histogramm mit Normalverteilungskurve dar und markiert Mittelwert, Median und Modus.
Code-Zelle 20

Verteilungsfunktion (Bonus)

Kurz erklärtBerechnet Werte einer Normalverteilungsfunktion und stellt sie grafisch den beobachteten Werten gegenüber.
07

Zentrale Streuungsmaße

  • Die korrigierte Stichprobenvarianz ist die durchschnittliche quadratische Abweichung aller Messwerte vom Mean.
  • Durch die Quadrierung ist diese statistische Kennzahl nicht unmittelbar interpretierbar.
  • Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel aus der korrigierten Stichprobenvarianz.
  • Mit ihr werden typische oder durchschnittliche Entfernung der Messwerte vom Mean beschrieben.
08

Formel der korrigierten Stichprobenvarianz

\[ s_X^2 = \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 }{ n-1 } \]
09

Formel der Standardabweichung

\[ s_X = \sqrt{ \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 }{ n-1 } } \]
Code-Zelle 21

Korrigierte Stichprobenvarianz und Standardabweichung (Teil 1)

Kurz erklärtBerechnet die korrigierte Stichprobenvarianz und Standardabweichung.
Code-Zelle 22

Korrigierte Stichprobenvarianz und Standardabweichung (Teil 2)

Kurz erklärtVeranschaulicht Streuungsbereiche um den Mittelwert und markiert Bereiche für ungefähr 68 % und 95 % der Werte.
10

Wichtige empirische Regeln

  • 68 % der Daten liegen im Bereich von einer Standardabweichung um den Mittelwert.
  • 95 % der Daten liegen im Bereich von zwei Standardabweichungen um den Mittelwert.
07

R-Vorlesung

Bivariate Statistik

01

Korrelationskoeffizient als lineares Zusammenhangsmaß

  • Beschreibt den linearen Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
  • Der Korrelationskoeffizient als Effektstärke liegt immer zwischen -1.00 und +1.00.
  • Werte nahe -1.00 oder +1.00 bedeuten einen starken linearen Zusammenhang.
  • Werte um 0.00 bedeuten, dass kein linearer Zusammenhang vorliegt.
Wichtig: Eine Korrelation beweist keine Ursache-Wirkungs-Beziehung!
02

Formel des Korrelationskoeffizienten

\[ r_{XY} = \frac{ \sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y}) }{ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2} \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2} } \]
Code-Zelle 23

Korrelation (Teil 1)

Kurz erklärtBerechnet die Korrelationsmatrix mit allen bivariaten Zusammenhängen.
Code-Zelle 24

Korrelation (Teil 2)

Kurz erklärtVisualisiert den Zusammenhang zwischen biking und heart.disease mit Regressionsgerade.
03

Grundlagen des Chi-Quadrat-Tests

  • Der Chi-Quadrat-Test ist ein Hypothesentest und erfordert eine Hypothese und Nullhypothese.
  • Die Nullhypothese besagt, dass kein Zusammenhang zwischen den Variablen besteht.
  • Ist der Chi-Quadrat-Wert größer als der kritische Wert, kann die Nullhypothese abgelehnt werden.
  • Zu diesem Zweck wird überprüft, ob die beobachteten Werte von den theoretischen Werten abweichen.
  • Die beobachteten Werte sind die tatsächlich vorliegenden Werte auf der Grundlage des Datensatzes.
  • Ausgehend von der Nullhypothese lassen sich die erwarteten Werte entsprechend ermitteln.
04

Formel für den Chi-Quadrat-Test

\[ \chi^2 = \sum_{i=1}^{k} \frac{ (O_i-E_i)^2 }{ E_i } \]
05

Formel für die erwarteten Werte

\[ E_{ij} = \frac{ (\text{Zeilensumme}_i) (\text{Spaltensumme}_j) }{ \text{Gesamtsumme} } \]
06

Beobachtete und erwartete Werte im Vergleich

Observed Expected
x = 0 x = 1 x = 0 x = 1
y = 0 140 101 119 122
y = 1 105 152 126 131
Code-Zelle 25

Chi-Quadrat-Test

Kurz erklärtÜberführt zwei metrische Variablen in binäre Kategorien, erstellt eine Kreuztabelle und führt einen Chi-Quadrat-Test durch.
07

Interpretation des Signifikanzniveaus

  • Der p-Wert gibt an, wie wahrscheinlich ein mindestens so extremes Ergebnis wäre, wenn die Nullhypothese gilt.
  • Liegt der p-Wert unter dem zuvor festgelegten Signifikanzniveau, wird die Nullhypothese verworfen.
Wichtig: Der p-Wert gibt nicht die Wahrscheinlichkeit an, dass die Nullhypothese richtig oder falsch ist!
08

Grundlagen des t-Tests

  • Geprüft wird, ob sich die Mittelwerte zweier unabhängiger Gruppen signifikant voneinander unterscheiden.
  • Die hier präsentierte Variante des t-Tests setzt keine Varianzgleichheit zwischen den beiden Gruppen voraus.
  • Prüft die Nullhypothese, dass sich die Mittelwerte beider Gruppen nicht unterscheiden.
  • Zunächst wird dieser Vergleich über entsprechende Boxplots visualisiert.
Code-Zelle 26

t-Test (Teil 1)

Kurz erklärtUnterscheidet in Gebiete mit niedriger und hoher Ausprägung und vergleicht beide Gruppen grafisch.
09

Formel für den t-Test

\[ t = \frac{ \bar{x}_1-\bar{x}_2 }{ \sqrt{ \frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2} } } \]
Code-Zelle 27

t-Test (Teil 2)

Kurz erklärtVergleicht die mittlere Ausprägung der beiden Gruppen.
10

Interpretationshilfen zur bivariaten Statistik

  • Mittels bivariater Statistik wird untersucht, ob Zusammenhänge zwischen zwei Variablen vorliegen.
  • Die statistischen Testverfahren beurteilen, ob die Zusammenhänge mit der Nullhypothese vereinbar sind.
08

R-Vorlesung

Multivariate Statistik

01

Grundlagen der einfachen linearen Regression

  • Die einfache lineare Regression untersucht den Zusammenhang zwischen zwei Variablen.
  • Im Gegensatz zur Korrelation handelt es sich um eine gerichtete Vorhersagebeziehung.
  • Ziel der einfachen linearen Regression ist es, den Wert von Y mithilfe von X vorherzusagen.
02

Formel der einfachen linearen Regression

\[ \hat{Y}=a+bX \]
03

Berechnung der dazugehörigen Steigung

\[ b=r_{XY}\cdot\frac{s_Y}{s_X} \]
04

Berechnung des dazugehörigen Achsenabschnitts

\[ a=\bar{Y}-b\bar{X} \]
Code-Zelle 28

Einfache lineare Regression

Kurz erklärtSchätzt eine einfache lineare Regression und visualisiert die zugehörige Regressionsgerade.
05

Grundlagen der multiplen linearen Regression

  • Die lineare Regression lässt sich auch um mehrere unabhängige Variablen erweitern.
  • Dies kann zu realistischeren Vorhersagen führen, weil Phänomene selten monokausal sind.
Anmerkung: Nachfolgend ist eine vereinfachte Formel dargestellt, da die Berechnung mehrdimensional erfolgt.
06

Formel der multiplen linearen Regression

\[ \hat{Y}=a+b_1X_1+b_2X_2+\dots+b_kX_k \]
Code-Zelle 29

Multiple Lineare Regression

Kurz erklärtErweitert die Regression um smoking als zweite unabhängige Variable.
Code-Zelle 30

Regressionsdiagnostik zur Modellbewertung

Kurz erklärtErstellt ein Modell mit allen Prädiktoren, zeigt die Modellkennwerte und visualisiert die Residuen.
07

Modellbewertung über das Residuum

  • Residuen sind die Abweichungen zwischen beobachteten und vorhergesagten Werten.
  • Sie zeigen, welche Anteile der abhängigen Variable durch das Modell nicht erklärt werden können.
  • Überprüfung der Annahmen der Regression und ob das Modell angemessen ist.
08

Formel des Residuums

\[ e_i = y_i-\hat{y}_i \]
09

Modellbewertung über das Bestimmtheitsmaß

  • Anteil der Streuung der abhängigen Variable, der durch das Regressionsmodell erklärt werden kann.
  • Ein Wert von 0.80 bedeutet bspw., dass 80 % der Variation in Y durch die unabhängigen Variablen erklärt werden.
  • Errechnet wird das Bestimmtheitsmaß durch den Anteil der erklärten Varianz an der Gesamtvarianz.
  • Bei der einfachen linearen Regression ist R² das Quadrat des zugrundeliegenden Korrelationskoeffizienten.
Wichtig: Ein hohes R² bedeutet nicht automatisch, dass ein kausaler Zusammenhang besteht!
10

Formel des Bestimmtheitsmaßes

\[ R^2= 1- \frac{ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\hat{y}_i)^2 }{ \sum_{i=1}^{n}(y_i-\bar{y})^2 } \]
11

Grundlagen der logistischen Regression

  • Bei der logistischen Regression liegt eine kategoriale abhängige Variable mit zwei Ausprägungen vor.
  • Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses vorherzusagen.
  • Anstelle eines kontinuierlichen Wertes wie bei der linearen Regression wird eine Wahrscheinlichkeit zwischen 0 und 1 modelliert.
12

Formel der logistischen Regression

\[ P(Y=1)= \frac{ 1 }{ 1+e^{-(a+bX)} } \]
Code-Zelle 31

Logistische Regression

Kurz erklärtBildet eine binäre Zielvariable und modelliert deren Zusammenhang mit biking über eine logistische Regression.
13

Interpretation der logistischen Regression

  • Die Regressionsgewichte beschreiben, wie sich die logarithmierte Wahrscheinlichkeit (Logit) für das Eintreten des Ereignisses verändert, wenn sich die unabhängige Variable um eine Einheit erhöht.
  • Ein positives Regressionsgewicht erhöht demnach die Wahrscheinlichkeit für Y=1, ein negatives Regressionsgewicht verringert sie.
Wichtig: Bei der logistischen Regression werden logarithmierte Odds Ratios als Regressionsgewichte ausgewiesen!
14

Logarithmierte Odds Ratios

\[ \log\left(\frac{p}{1-p}\right) = a+bX \]
09

R-Vorlesung

Komplexitätsreduktion – Faktorenanalyse

01

Einführung in die Faktorenanalyse

  • Die Faktorenanalyse identifiziert gemeinsame Muster und Zusammenhänge zwischen Variablen, die durch nicht direkt beobachtbare Faktoren erklärt werden können.
  • Ziel ist es, die Komplexität eines Datensatzes zu verringern, ohne möglichst viel der enthaltenen Information zu verlieren.
  • Die resultierenden Faktoren ermöglichen eine einfachere Interpretation komplexer Datenstrukturen und können als Grundlage für weitere statistische Analysen dienen.
Leitfrage: Welche gemeinsamen Merkmale liegen hinter vielen Variablen?
Code-Zelle 32

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package psych.
Code-Zelle 33

Package PSYCH aktivieren

Kurz erklärtLädt das Package psych.
Code-Zelle 34

Package CORRPLOT aktivieren

Kurz erklärtLädt das bereits installierte Package corrplot.
Code-Zelle 35

BFI-Datensatz einsehen

Kurz erklärtZeigt zunächst die Dimension und anschließend die deskriptiven Kennwerte des BFI-Datensatzes.
02

Summenscores und Reliabilität der zugrundeliegenden Variablen der Dimensionen

  • Für die Summenscores werden alle Variablen einer Dimension aufaddiert und durch die Anzahl der Variablen geteilt.
  • Die Summenscores ermöglichen einen ersten Vergleich zwischen den möglichen Dimensionen.
  • Die Reliabilität beschreibt, wie stark die einzelnen Fragen (Items) einer Skala miteinander zusammenhängen.
Code-Zelle 36

Relevante Variablen auswählen

Kurz erklärtWählt die BFI-Variablen 11 bis 20 aus, entfernt Fälle mit fehlenden Werten und kontrolliert anschließend Dimension und Kennwerte des neuen Datensatzes.
Code-Zelle 37

Reliabilitätswerte und Vergleich der Summenscores

Kurz erklärtBildet Mittelwertscores für Extraversion und Neuroticism und vergleicht deren Mittelwerte. Zusätzlich werden die Reliabilitätswerte ausgewiesen.
03

Korrelativer Zusammenhang zwischen den Variablen der Dimensionen

  • Die zugrundeliegenden Variablen innerhalb einer Dimension sollten miteinander korrelieren.
  • Entsprechend sollten die Variablen einer Dimension weniger stark mit den Variablen einer anderen Dimension korrelieren.
Code-Zelle 38

Bivariate Statistik

Kurz erklärtBerechnet und visualisiert die Korrelationsmatrix der ausgewählten BFI-Variablen mit corrplot.
04

Grundlagen der Faktorenanalyse

  • Die Faktorenanalyse versucht, viele beobachtete Variablen durch wenige zugrunde liegende Faktoren zu erklären.
  • Das Rotationsverfahren Varimax verändert die Darstellung der Faktoren, damit die Interpretation der Faktorladungen erleichtert wird.
  • Die Parallelanalyse vergleicht die Eigenwerte der tatsächlichen Daten mit zufällig erzeugten Daten, um die Anzahl an Faktoren zu bestimmen.
Hintergrund: Faktoren werden nur dann beibehalten, wenn sie mehr Varianz erklären als ein zufällig entstandener Faktor.
05

Formel der Faktorenanalyse

\[ X_i= \lambda_{i1}F_1+ \lambda_{i2}F_2+ \dots+ \lambda_{ik}F_k+ \epsilon_i \]
Code-Zelle 39

Faktorenanalyse (Teil 1)

Kurz erklärtPrüft zunächst die geeignete Faktorenzahl und berechnet anschließend eine varimax-rotierte Faktorenanalyse mit zwei Faktoren, die zusätzlich grafisch dargestellt wird.
Code-Zelle 40

Faktorenanalyse (Teil 2)

Kurz erklärtBerechnet zum Vergleich eine varimax-rotierte Faktorenanalyse mit drei Faktoren.
06

Interpretation der Faktorenanalyse

  • Die Faktorenanzahl sollte so gewählt werden, dass sie möglichst viel Information der ursprünglichen Variablen erhält.
  • Faktorladungen zeigen, wie stark eine Variable mit einem Faktor zusammenhängt.
  • Hohe Ladungen weisen darauf hin, dass eine Variable besonders gut durch den jeweiligen Faktor repräsentiert wird.
  • Die inhaltliche Interpretation eines Faktors erfolgt anhand der Variablen, die besonders hohe Faktorladungen aufweisen.
Wichtig: Faktoren werden nicht direkt gemessen, sondern aus den Zusammenhängen zwischen beobachteten Variablen erschlossen!
10

R-Vorlesung

Komplexitätsreduktion – Clusteranalyse

01

Einführung in die Clusteranalyse

  • Die Clusteranalyse versucht, Objekte so zu Gruppen zusammenzufassen, dass Objekte innerhalb eines Clusters möglichst ähnlich und Objekte verschiedener Cluster möglichst unterschiedlich sind.
  • Die gefundenen Cluster sind keine vorgegebenen Kategorien, sondern statistisch erzeugte Gruppen, deren inhaltliche Bedeutung anschließend fachlich interpretiert werden muss.
Leitfrage: Welche ähnlichen Fälle oder Personen lassen sich zu Gruppen zusammenfassen?
Code-Zelle 41

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package cluster.
Code-Zelle 42

Package CLUSTER aktivieren

Kurz erklärtLädt das Package cluster.
Code-Zelle 43

Deskriptive Statistik

Kurz erklärtZeigt Dimension und deskriptive Kennwerte des IRIS-Datensatzes.
02

Standardisierung

  • Da Variablen unterschiedliche Maßeinheiten besitzen können, werden die Merkmale häufig standardisiert, damit keine Variable aufgrund ihrer Größenordnung die Clusterbildung dominiert.
  • Eine Möglichkeit der Standardisierung ist die z-Transformation über die Standardabweichung.
Merksatz: Standardisierte Variablen weisen einen Mean von 0.00 und eine Standardabweichung von 1.00 auf.
03

Formel der z-Transformation

\[ z_i = \frac{ x_i-\bar{x} }{ s_X } \]
Code-Zelle 44

Relevante Variablen z-transformieren

Kurz erklärtStandardisiert die vier numerischen IRIS-Merkmale.
04

Grundlagen zur Within-Cluster Sum of Squares (WCSS) Methode

  • Beschreibt, wie stark die Beobachtungen innerhalb der gebildeten Cluster um ihre jeweiligen Clusterzentren streuen.
  • Mit zunehmender Anzahl an Clustern wird die WCSS kleiner, da die Beobachtungen immer homogener werden.
  • Dabei wird nach dem Punkt gesucht, ab dem zusätzliche Cluster die WCSS nur noch vergleichsweise wenig reduzieren.
Merksatz: Gesucht wird eine Clusteranzahl, die eine geringe Streuung innerhalb der Cluster mit einer möglichst einfachen Clusterstruktur verbindet.
05

Formel der Within-Cluster Sum of Squares (WCSS)

\[ WCSS = \sum_{j=1}^{k} \sum_{x_i \in C_j} \left\lVert x_i-\mu_j \right\rVert^2 \]
Code-Zelle 45

Within Cluster Sum of Squares (WCSS) ermitteln

Kurz erklärtBerechnet die Within Cluster Sum of Squares (WCSS) für unterschiedliche Clusterzahlen.
Code-Zelle 46

Grafische Darstellung der Anzahl an Clustern

Kurz erklärtStellt die WCSS für ein bis zehn Cluster grafisch dar.
06

Grundlagen des K-Means Algorithmus

  • Die identifizierte Clusteranzahl wird dem K-Means Algorithmus übergeben.
  • K-Means ordnet Beobachtungen so Gruppen zu, dass die Abstände der Beobachtungen zu ihrem jeweiligen Clusterzentrum möglichst klein werden.
  • Dabei verwendet K-Means die euklidische Distanz zur Messung der Abstände zwischen den Beobachtungen und den Clusterzentren.
07

Formel der euklidischen Distanz

\[ d(x,\mu)= \sqrt{ \sum_{i=1}^{p}(x_i-\mu_i)^2 } \]
Code-Zelle 47

K-Means Algorithmus anwenden

Kurz erklärtBerechnet eine K-Means-Lösung mit drei Clustern und visualisiert die Gruppierung.
Code-Zelle 48

Präzision des K-Means Algorithmus

Kurz erklärtVergleicht die erzeugten Cluster mit den tatsächlichen Schwertlilienarten.
11

R-Vorlesung

Machine Learning – Praktische Einführung

01

Grundlagen des Machine Learnings

  • Machine Learning ist ein Teilbereich der Künstlichen Intelligenz (KI), bei dem Computer mithilfe von Algorithmen eigenständig aus Daten lernen, ohne dass für jeden Einzelfall ein fester Programmcode geschrieben wird.
  • Ein trainiertes Modell kann neue, unbekannte Daten auswerten und Vorhersagen oder Entscheidungen treffen.
  • Drei Arten von Machine Learning können unterschieden werden:
    • Supervised Learning: lernt mit vorgegebenen Beispielen
    • Unsupervised Learning: sucht eigenständig nach Mustern und Strukturen
    • Reinforcement Learning: lernt über Try & Error und Belohnungssysteme
  • Am Beispiel des TREES-Datensatzes wird nachfolgend das Supervised Learning vorgestellt.
Code-Zelle 49

Ausgangsdatensatz

Kurz erklärtZeigt die Dimension des TREES-Datensatzes.
02

Trainings- und Validierungsdaten

  • Trainings- und Validierungsdaten sind zwei getrennte Teile eines Datensatzes, die beim Machine Learning unterschiedliche Aufgaben erfüllen.
  • Mit den Trainingsdaten erkennt das Modell Muster, Zusammenhänge und Regeln und passt seine internen Parameter an.
  • Die Validierungsdaten überprüfen, wie gut das Modell das Gelernte auf neue, unbekannte Daten anwenden kann.
  • Die Trainingsdaten (bspw. 80 %) sollten dabei größer sein als die Validierungsdaten (bspw. 20 %).
Code-Zelle 50

Trainingsdatensatz anlegen

Kurz erklärtBildet aus ausgewählten Fällen einen Trainingsdatensatz.
Code-Zelle 51

Validierungsdatensatz anlegen

Kurz erklärtBildet aus den übrigen Fällen einen Validierungsdatensatz.
03

Statistik als Grundlage des Machine Learnings

  • Statistische Verfahren dienen als methodische Grundlage der Machine Learning Algorithmen.
  • Die lineare Regression zählt bspw. zum Supervised Learning und die Clusteranalyse zum Unsupervised Learning.
  • Zur Demonstration wird nachfolgend die lineare Regression als Algorithmus für die weitere Verwendung angelegt.
Code-Zelle 52

Lineares Regressionsmodell als Machine Learning Algorithmus

Kurz erklärtTrainiert ein lineares Regressionsmodell zur Vorhersage von Volume.
Code-Zelle 53

Machine Learning Algorithmus auf Validierungsdatensatz anwenden

Kurz erklärtErzeugt Vorhersagen und vergleicht deren durchschnittliche Abweichung mit der Streuung von Volume.
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R-Vorlesung

Machine Learning mit CARET

01

Über das Package CARET

  • Das Package CARET (Classification And Regression Training) stellt eine einheitliche Umgebung zur Entwicklung, Bewertung und zum Vergleich verschiedener Machine Learning Modelle bereit.
  • Es unterstützt zentrale Schritte eines Machine-Learning-Prozesses, darunter die Aufteilung von Trainings- und Validierungsdaten, die Modellierung und die Bewertung der Vorhersagegenauigkeit.
Code-Zelle 54

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package caret.
02

Features der Pflanzenarten im IRIS-Datensatz

  • Am Beispiel des IRIS-Datensatzes wird untersucht, wie verschiedene Algorithmen Pflanzenarten anhand ihrer Merkmale klassifizieren können.
  • Dazu können die Features der verschiedenen Pflanzenarten systematisch gegenübergestellt werden.
Code-Zelle 55

Package CARET anwenden und Features anlegen

Kurz erklärtLädt das Package caret und trennt anschließend die vier numerischen IRIS-Merkmale als Features von der Zielvariable Species.
Code-Zelle 56

Grafische Darstellung der Features

Kurz erklärtVergleicht die Features grafisch zwischen den drei Schwertlilienarten.
03

Herausforderung bei der Klassifikation der verschiedenen Pflanzenarten

  • Die verschiedenen Pflanzenarten können sich hinsichtlich der Länge und Breite ihrer Blätter ähneln.
  • Dadurch ergibt sich bei diesen Features eine Herausforderung bei der Klassifikation.
  • Insbesondere Versicolor und Virginica weisen Überschneidungen bei den Features auf.
Code-Zelle 57

Grafische Darstellung über SEPAL.WIDTH und SEPAL.LENGTH

Kurz erklärtStellt Sepal Length und Sepal Width mit unterschiedlichen Symbolen für die drei Species dar.
04

Das Package CARET vereinfacht die Datenaufbereitung

  • Mit dem Package CARET lässt sich die Einteilung in Trainings- und Validierungsdaten automatisch ausführen.
  • Ebenfalls kann eine Kreuzvalidierungsmethode aufgerufen werden, um die Leistungsfähigkeit und Zuverlässigkeit eines Vorhersagemodells oder von Machine Learning Algorithmen zu bewerten.
  • Darüber hinaus stehen verschiedene Algorithmen zur Auswahl, die miteinander verglichen werden können:
    • Linear Discriminant Analysis (LDA)
    • K-Nearest Neighbor (KNN)
    • Random Forest (RF)
Code-Zelle 58

Einteilung in Trainings- und Validierungsdatensätze

Kurz erklärtTeilt den IRIS-Datensatz geschichtet in einen Trainings- und Validierungsdatensatz.
Code-Zelle 59

Validierungsdatensatz einsehen

Kurz erklärtFasst den Validierungsdatensatz zusammen.
Code-Zelle 60

Trainingsdatensatz einsehen

Kurz erklärtFasst den Trainingsdatensatz zusammen.
Code-Zelle 61

Validierung festlegen

Kurz erklärtLegt 10-fache Kreuzvalidierung und Accuracy als Gütemaß fest.
05

Formale Darstellung der Linear Discriminant Analysis (LDA)

\[ z=w^TX \]
Code-Zelle 62

Linear Discriminant Analysis (LDA) trainieren

Kurz erklärtTrainiert eine Linear Discriminant Analysis (LDA).
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Formale Darstellung von K-Nearest Neighbor (KNN)

\[ \hat{Y} = \operatorname{mode} \{Y_1,Y_2,\dots,Y_k\} \]
Code-Zelle 63

K-Nearest Neighbor (KNN) trainieren

Kurz erklärtTrainiert einen K-Nearest Neighbor (KNN) Algorithmus.
Code-Zelle 64

Packages installieren

Kurz erklärtInstalliert das Package randomForest, das caret für Random Forest (RF) benötigt.
07

Formale Darstellung von Random (Forest)

\[ \hat{Y} = \operatorname{mode} \{T_1(X),T_2(X),...,T_m(X)\} \]
Code-Zelle 65

Random Forest (RF) trainieren

Kurz erklärtTrainiert ein Random Forest (RF) Modell.
Code-Zelle 66

Vergleich der Machine Learning Algorithmen

Kurz erklärtVergleicht LDA, KNN und RF tabellarisch und grafisch.
Code-Zelle 67

Fokus auf besten Algorithmus

Kurz erklärtGibt Details des trainierten LDA-Modells aus.
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Confusion Matrix und Accuracy

  • Die Confusion Matrix stellt gegenüber, welche Klassen das Modell vorhergesagt hat und welche Klassen tatsächlich vorlagen.
  • Sie zeigt, wie viele Beobachtungen korrekt klassifiziert wurden und bei welchen Fällen das Modell Fehler gemacht hat.
  • Für die Accuracy ist die Unterscheidung zwischen True Positives (TN), True Negatives (TN), False Positives (FP) und False Negatives (FN) von Bedeutung.
Wichtig: Eine hohe Accuracy allein garantiert kein gutes Modell, insbesondere wenn die Klassen unterschiedlich häufig auftreten. Deshalb sollten zusätzlich weitere Kennwerte und die Confusion Matrix betrachtet werden.
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Formel der Accuracy

\[ Accuracy= \frac{ TP+TN }{ TP+TN+FP+FN } \]
Code-Zelle 68

Machine Learning Algorithmus auf Validation Data anwenden

Kurz erklärtWendet das LDA-Modell auf die Validierungsdaten an und bewertet die Klassifikation über eine Confusion Matrix.
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R-Vorlesung

Bootstrapping

01

Grundlagen des Bootstrappings

  • Bootstrapping ermöglicht es, die Unsicherheit eines geschätzten Parameters zu untersuchen, indem aus den vorhandenen Daten viele neue Stichproben erzeugt werden.
  • Für jede Stichprobe wird die interessierende Kennzahl (bspw. ein Regressionskoeffizient) erneut berechnet.
  • Die Streuung der daraus resultierenden Schätzwerte zeigt, wie stabil die ursprüngliche Schätzung ist.
Merksatz: Bootstrapping ist eine Methode zur Einschätzung von Unsicherheit und Stabilität von Schätzungen.
Code-Zelle 69

Lineare Regression als Ausgangssituation

Kurz erklärtSchätzt zunächst den linearen Zusammenhang zwischen dem Gewicht eines Fahrzeugs (wt) und seinem Benzinverbrauch in Miles per Gallon (mpg) im MTCARS-Datensatz.
02

Formale Darstellung der Grundidee des Bootstrappings

\[ \hat{\beta}_1^{*(r)} = \operatorname{Regression} (Y_r^*,X_r^*) \qquad r=1,\dots,R \]
Code-Zelle 70

Bootstrapping

Kurz erklärtZieht 1.000 Bootstrap-Stichproben mit Zurücklegen aus dem MTCARS-Datensatz, berechnet für jede Stichprobe die Regression von mpg auf wt und speichert jeweils das Regressionsgewicht in b.
03

Empirische Stichprobenverteilung des Parameters

\[ \hat{\beta}_1^{*} = \frac{1}{R} \sum_{r=1}^{R} \hat{\beta}_1^{*(r)} \]
Code-Zelle 71

Verteilung der Regressionsgewichte

Kurz erklärtVisualisiert die Verteilung der 1.000 durch Bootstrapping geschätzten Regressionsgewichte und markiert den Regressionskoeffizienten des ursprünglichen MTCARS-Datensatzes.
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R-Vorlesung

Obligatorischer Exkurs – Datengewinnung

01

Herausforderungen bei der Datengewinnung

  • Häufig stellen Befragungen oder Beobachtungen die Grundlage für zu analysierende Datensätze dar.
  • Dabei sind verschiedene Herausforderungen für eine zielführende Interpretation zu berücksichtigen.
Wichtig: Die Qualität der erhobenen Daten bestimmt maßgeblich die Reliabilität und Validität der gesamten Studienergebnisse!
02

Reaktivität als Herausforderung

  • Kennen oder vermuten Teilnehmende die Intention einer Befragung oder Beobachtung, können sie ihr (Antwort-)Verhalten bewusst oder unbewusst verändern.
  • Beispiel: Gesundheitsbezogenes Verhalten
03

Soziale Erwünschtheit als Herausforderung

  • Eine mögliche Verzerrung des (Antwort-)Verhaltens aufgrund von Annahmen der Teilnehmenden über Normen oder Erwartungen, die mit der Antwort oder dem Verhalten in Verbindung stehen.
  • Beispiel: Devianz
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Schweigeverzerrung als Herausforderung

  • Teilnehmende können ein anderes (Antwort-)Verhalten aufweisen als Nichtteilnehmende.
  • Beispiel: Produktbewertungen im Internet
05

Selektive Aufmerksamkeit als Herausforderung

  • Menschliche Wahrnehmung ist ein selektiver Prozess, der sich an vertrauten Mustern und Strukturen orientiert und hinsichtlich der zu verarbeitenden Informationsmenge begrenzt ist.
  • Beispiel: Erziehungsberechtigte sehen andere Gefahrenquellen im Straßenverkehr
06

Tendenzen im Antwortverhalten als Herausforderung

  • Insbesondere bei mehrstufigen Antwortskalen kann an Stelle eines objektiven Antwortverhaltens eine subjektive Unter- oder Überbewertung eines Phänomens erfolgen.
  • Beispiel: Sympathie bei Lehrevaluationen
07

Retrospektionseffekt als Herausforderung

  • Phänomene können im Rückblick anders bewertet werden, als in der Situation, in denen man ihnen ausgesetzt war.
  • Beispiel: Verkehrsunfall
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Rückschaufehler als Herausforderung

  • Unzutreffende Erinnerungen, wenn Teilnehmende, nachdem Sie den tatsächlichen Ausgang eines Ereignisses erfahren haben, sich falsch an ihre frühere Vorhersage des Ausgangs erinnern.
  • Beispiel: Wahlprognosen
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R-Vorlesung

Obligatorischer Exkurs – Skalenniveaus

01

Grundlagen und Relevanz von Skalenniveaus

  • Skalenniveaus werden in der Fachliteratur häufig auch als Messniveaus bezeichnet.
  • Sie ermöglichen einen angemessenen Detailgrad in den Merkmalsausprägungen von Variablen.
  • Nur geeignete Skalenniveaus sind in der Lage, die unterschiedlichen Facetten eines Phänomens adäquat abzubilden.
  • Es lassen sich vier unterschiedliche Skalenniveaus mit unterschiedlichem Detailgrad ausdifferenzieren.
02

Nominalskala

  • Die Nominalskala differenziert zwischen Merkmalsausprägungen ohne vorgegebene Rangfolge.
  • Gängige Operationen: = oder ≠
  • Beispiele: Geschlecht (m, w, d) oder Postleitzahl (50939, 53225)
03

Ordinalskala

  • Mit der Ordinalskala kann eine Rangfolge der Merkmalsausprägungen abgebildet werden, ohne diese im Detail interpretieren zu können.
  • Gängige Operationen: > oder <
  • Beispiele: Einkommen (hoch, niedrig) oder Schulnoten (sehr gut, gut)
04

Intervallskala

  • Bei der Intervallskala lassen sich Unterschiede zwischen Merkmalsausprägungen mittels Zahlen abbilden und interpretieren.
  • Gängige Operationen: + oder -
  • Beispiele: Intelligenz (110, 105) oder Temperatur (39°C, 40°C)
Wichtig: Bei der Intervallskala gibt es keinen natürlichen Nullpunkt!
05

Verhältnisskala

  • Die Verhältnisskala erlaubt die Berechnung der Beziehungen zwischen den Merkmalsausprägungen.
  • Gängige Operationen: * oder :
  • Beispiele: Einkommen (3.000,00€, 1.500,00€) oder Temperatur (100 K, 200 K)
Wichtig: Die Verhältnisskala besitzt einen natürlichen Nullpunkt!
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R-Vorlesung

Obligatorischer Exkurs – Ergänzung zur Regressionsanalyse

01

Gemeinsamkeiten von t-Test und linearer Regression

  • Bei zwei Gruppen sind t-Test und lineare Regression mit einer dichotomen Variable mathematisch eng miteinander verknüpft.
  • Beide testen, ob sich die Gruppenmittelwerte unterscheiden, weshalb äquivalente Befunde zu erwarten sind.
Code-Zelle 72

Direkter Vergleich zwischen t-Test und linearer Regression

Kurz erklärtBerechnet einen t-Test und eine lineare Regression für den direkten Vergleich der Befunde.
02

Interpretation der Befunde

  • Der Mittelwert der Gruppe 0 beim t-Test entspricht dem Schnittpunkt mit der y-Achse bei der linearen Regression.
  • Die Differenz zwischen Gruppe 0 und Gruppe 1 beim t-Test entspricht somit der Steigung der Regressionsgeraden.
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R-Vorlesung

Fakultativer Exkurs – Einführung in die Bayessche Statistik

01

Ein Kriminalfall als Beispiel für den Satz von Bayes

  • Die Bayessche Statistik ermöglicht es, bestehende Annahmen anhand neuer Informationen zu aktualisieren.
  • In dem vorliegenden Kriminalfall kommen der Butler und der Gärtner als Täter infrage.
  • In 60 % der vorherigen Kriminalfällen war der Butler der Täter.
  • Der Gärtner war bisher in 40 % der vorherigen Kriminalfälle der Täter.
02

Prior als ursprüngliche Wahrscheinlichkeit

  • Der Prior beschreibt die Annahme über die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese, ohne Berücksichtigung neuer Beobachtungen.
  • A bezeichnet die Hypothese, dass der Butler der Täter ist.
  • ¬A bezeichnet die Gegenhypothese, dass der Gärtner der Täter ist.
  • Die Wahrscheinlichkeiten beider Hypothesen müssen zusammen 1 beziehungsweise 100 % ergeben.
Code-Zelle 73

Berechnung der Prior-Wahrscheinlichkeiten

Kurz erklärt Definiert die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit für den Butler (60 %) und berechnet die Gegenwahrscheinlichkeit für den Gärtner (40 %).
03

Likelihood als Wahrscheinlichkeit für zusätzliche Beobachtungen

  • Die Likelihood beschreibt, wie wahrscheinlich eine Beobachtung unter einer bestimmten Hypothese ist.
  • Wenn der Butler der Täter ist, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 70 %, dass dieser Fußabdrücke hinterlassen hat.
  • Wenn der Gärtner der Täter ist, besteht eine Wahrscheinlichkeit von 10 %, dass Fußabdrücke gefunden werden.
  • B bezeichnet das Auffinden des Fingerabdrucks und ¬B dessen Ausbleiben.
Code-Zelle 74

Berechnung der Likelihood

Kurz erklärt Definiert die bedingten Wahrscheinlichkeiten für einen Fußabdruck, abhängig davon, wer der Täter ist. Die Gegenwahrscheinlichkeiten beschreiben jeweils das Ausbleiben des Abdrucks.
04

Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten

  • Die gemeinsame Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich zwei Ereignisse zusammen auftreten.
  • P(A ∩ B) bezeichnet die Wahrscheinlichkeit, dass der Butler der Täter ist und ein Fußabdruck gefunden wird.
  • Dafür multipliziert man den Prior mit der entsprechenden bedingten Wahrscheinlichkeit.
  • Dasselbe Prinzip wird auf die übrigen Kombinationen von Täter und Fingerabdruck angewendet.
Code-Zelle 75

Gemeinsame Wahrscheinlichkeiten berechnen

Kurz erklärt Berechnet die vier möglichen Kombinationen aus Täter und Fußabdruck.
05

Evidenz zur Lösung von Kriminalfällen

  • Evidenz ist die Gesamtwahrscheinlichkeit der Beobachtung, unabhängig davon, welche Hypothese zutrifft.
  • Ein Fußabdruck kann sowohl dann gefunden werden, wenn der Butler oder der Gärtner der Täter ist.
  • Wir addieren daher die beiden gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten P(A ∩ B) und P(¬A ∩ B).
  • In unserem Beispiel beträgt die Evidenz 46 %.
Code-Zelle 76

Berechnung der Evidenz

Kurz erklärt Addiert die Wahrscheinlichkeiten aller Fälle, in denen ein Fußabdruck gefunden wird.
06

Posterior als aktualisierte Wahrscheinlichkeit

  • Der Posterior beschreibt die Wahrscheinlichkeit einer Hypothese, nachdem eine neue Beobachtung berücksichtigt wurde.
  • Der Satz von Bayes lautet: P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B).
  • Wir teilen die gemeinsame Wahrscheinlichkeit für Butler und Fußabdruck durch die Evidenz des Fußabdrucks.
  • Damit steigt die Wahrscheinlichkeit für den Butler von ursprünglich 60 % auf rund 91,3 %.
  • Das Ergebnis ist eine aktualisierte Wahrscheinlichkeit unter unseren Modellannahmen.
Code-Zelle 77

Berechnung des Posteriors

Kurz erklärt Berechnet die aktualisierte Wahrscheinlichkeit für den Butler, nachdem der Fußabdruck gefunden wurde.
07

Visualisierung als Bayessches Baumdiagramm

  • Ein Baumdiagramm veranschaulicht die möglichen Ereignisse und ihre Wahrscheinlichkeiten.
  • Die erste Verzweigung zeigt die ursprünglichen Wahrscheinlichkeiten für Butler und Gärtner.
  • Die zweite Ebene zeigt die bedingten Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten oder Ausbleiben eines Fußabdrucks.
  • Die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten ergeben sich durch Multiplikation entlang der jeweiligen Pfade.
  • Die beiden Pfade mit gefundenem Fußabdruck bilden zusammen die Evidenz und ermöglichen die Berechnung des Posteriors.
Code-Zelle 78

Bayessches Baumdiagramm erstellen

Kurz erklärt Erstellt ein Baumdiagramm, das die Prior- und Likelihood-Wahrscheinlichkeiten, die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten und den Posterior visualisiert.
08

Lernen aus neuen Informationen mit der Bayeschen Statistik

  • Bayessche Statistik verbindet ursprüngliche Annahmen mit neuen Beobachtungen.
  • Der Prior beschreibt unsere ursprüngliche Einschätzung.
  • Die Likelihood beschreibt die Wahrscheinlichkeit der Beobachtung unter einer Hypothese.
  • Die Evidenz berücksichtigt alle möglichen Erklärungen für die Beobachtung.
  • Der Posterior liefert die aktualisierte Wahrscheinlichkeit der Hypothese.